  |
Regulares |
|
 |
 |
 |
 |
| Tetraedro |
Hexaedro |
Octaedro |
Dodecaedro |
Icosaedro |
| * Caras, aristas e vértices | * Simetrías | * Estrelas |
| * ¿Cantos hai? | * Dualidade ou polaridade | * Seccións |
| * Esferas | * Desenvolvementos planos | * Magnitudes e cálculos |
* Caras, aristas e vértices
Un poliedro é unha figura tridimensional limitada por varios planos que interseccionan no espacio.
O polígono definido polas interseccións de cada plano con outros planos, é unha cara do poliedro.
O segmento común a dúas caras é unha arista do poliedro.
Os puntos onde se xuntan tres ou máis aristas son os vértices do poliedro.
Cada cara ten tantos ángulos superficiais (ángulos planos) como aristas a limitan.
En cada arista, dúas caras forman entre sí un ángulo diedro.
En cada vértice hai un ángulo sólido formado por todas as caras que o definen.
Un poliedro convexo é aquel no que, unindo cun segmento dous puntos superficiais cualquera, todos os puntos intermedios están dentro do poliedro ou na superficie.A especie dunha cara poligonal é o número de lados ou vértices que ten.
A orde dun ángulo sólido é a sucesión ordenada das especies das caras que o forman.
Nun poliedro regular cúmprense as seguintes condicións:
* As caras son polígonos regulares, e todas son iguais e da mesma especie.
* Todas as aristas miden o mesmo.
* Todos os ángulos superficiais, ángulos diedros e ángulos sólidos son iguais e da mesma orde.
* Existe un centro xeométrico, único para tres esferas:-Esfera inscrita, que toca todas as caras nos seus puntos centrais.
-Esfera media, que pasa polos puntos medios de todas as aristas.
-Esfera circunscrita, que pasa por todos os vértices.Resulta sinxelo probar que non pode haber máis que cinco poliedros regulares. Para formar un ángulo sólido o mínimo son tres polígonos concurrentes, pero a suma dos ángulos superficiais debe ser menor de 360 para que non cheguen a formar un plano único.
O ángulo interior dun triángulo equilátero mide 60º. Non se pode chegar a 6 porque sumarían 360. Así que as posibilidades son 3 (tetraedro), 4 (octaedro) e 5 (icosaedro)
O ángulo dun cadrado son 90º. Só valen 3 (hexaedro) porque 4 sumarían 360.
O ángulo dun pentágono mide 72º. Só valen 3 (icosaedro) porque con 4 se rebasan os 360.
O ángulo dun hexágono mide 120º, así que con 3 xa non hai ángulo sólido.
Dado que todas as caras dun poliedro regular equidistan do centro, existe unha esfera inscrita tanxente a todas elas. O seu diámetro é a distancia entre caras opostas.
A esfera media pasa polos puntos medios de todas as aristas. O seu diámetro é a distancia entre aristas opostas.
A esfera circunscrita pasa por todos os vértices. O seu diámetro é a distancia entre vértices opostos. Cando se fala de raio do poliedro, refírese ao raio desta esfera.
Estes poliedros teñen eixos de rotación e planos de simetría, característicos da súa regularidade. Todos pasan polo centro e por puntos significativos como vértices, puntos medios de aristas e centros de caras.
Na rotación dun poliedro arredor dun eixo danse momentos en que a posición é idéntica á inicial, a intervalos divisores de 360º.
Un plano de simetría divide o poliedro en dúas
partes que son imaxe especular unha da outra.
Cada punto dun lado do plano é replicado por outro
no lado contrario, á mesma distancia do plano.É a relación entre un poliedro dado e o resultante de situar un vértice no centro de cada cara.
Serán duais, polares ou conxugados os poliedros regulares que teñan o mesmo sistema de eixos de simetría.
O tetraedro é autopolar, o seu dual é outro tetraedro.
O hexaedro e o octaedro son duais un do outro, como tamén o dodecaedro e o icosaedro.
Podemos construir calquera poliedro regular a partir dunha figura plana na que están despregadas todas as caras. Esta
figura é o desenvolvemento plano(podes pasar o rato sobre a figura da dereita)
Teóricamente o desenvolvemento obtense a partir da figura facendo abatementos das súas caras que xiran sobre as aristas.
Na sección Desenvolvementos ofrecemos unha colección
en pdf listos para imprimir e construir as figurasProlongando os lados dun polígono regular de 5 lados ou máis, aparecen polígonos estrelados.
Do mesmo xeito, prolongando as caras dun poliedro regular podemos crear poliedros estrelados.
A estrela aparece cando caras que antes non formaban aristas se atopan. O tetraedro non produce estrela porque cada cara xa forma arista con todas as demáis. O hexaedro tampouco porque cada cara forma arista con todas as demáis menos unha, pero ésta é paralela así que non intersectan ainda que se prolonguen.
As seccións son as figuras planas que se producen cando un plano intersecta un sólido. Dependendo da orientación do plano respecto das liñas principais do poliedro, as seccións resultantes poden ser formas xeométricas características.
En todos os poliedros regulares é posible facer unha sección na que se recollen as principais magnitudes da figura. Chámase Sección principal.
As medidas liñais e angulares dos poliedros poden calcularse coa axuda de diferentes recursos. Para o cálculo gráfico son de moita axuda as seccións principais, e para o numérico a aplicación de recursos básicos como o teorema de Pitágoras ou a trigonometría.
A Superficie do poliedro é igual á suma das áreas das caras.
O Volume do poliedro é igual ao dunha pirámide que ten como base unha das caras e como altura a apotema do poliedro, multiplicado polo número de caras. (volume que é igual a un tercio do prisma de igual base e altura).
A Apotema do poliedro é o raio da circunferencia inscrita. É o cateto dun triángulo rectángulo no que a hipotenusa é o raio do poliedro e o outro cateto o raio do polígono que forma a cara.
O Raio do poliedro é o da circunferencia circunscrita. É a hipotenusa dun triángulo rectángulo no que os catetos son a apotema e o raio do polígono da cara, e tamén a de outro triángulo rectángulo no que os catetos son a metade do lado e o raio da circunferencia media.
O Lado do poliedro é o duplo do cateto dun triángulo rectángulo no que a hipotenusa é o raio do poliedro e o outro cateto o raio da circunferencia media.
| |
Regulares |
